Verso l’infinito, e poi? Dove va la matematica

Termini come calcolo tensoriale, topologia, geometria a molte dimensioni, teoria del caos e logica computazionale vi fanno paura? Non avete tutti i torti. Quando una ragazzina inviò ad Albert Einstein una lettera lamentandosi delle sua difficoltà a risolvere i problemi di matematica, il premio Nobel rispose comprensivo: “Non preoccuparti delle difficoltà che incontri in matematica; ti posso assicurare che le mie sono ancora più grosse”. E anche lui non aveva tutti i torti. Difatti, alle scuole siamo abituati ad associare alla matematica lunghe e penose espressioni ricche di parentesi, sistemi di equazioni e problemi davvero singolari nei quali, come faceva argutamente notare Massimo Troisi (nel film Scusate il ritardo), c’entra sempre qualche contadino un po’ ottuso. Ebbene, la matematica che oggi è alla base dell’ingegneria aerospaziale, dell’informatica, della fisica quantistica e della cosmologia più avanzata non ha niente a che vedere con l’aritmetica, l’algebra e la geometria che impariamo a scuola. Ce lo spiega Ian Stewart, brillante matematico e divulgatore inglese, in un libro destinato a tutti i curiosi che vogliono conoscere la storia di questa disciplina strana, quasi esoterica, e soprattutto i suoi ultimi sviluppi. Dove va la matematica? È questa la domanda a cui cerca di rispondere Domare l’infinito (ed. Bollati Boringhieri). Qui vi presentiamo quattro “assaggi” dei campi di ricerca più intriganti.

La topologia delle “ciambelle”

La geometria che studiamo a scuola si definisce “euclidea” perché segue degli assiomi scoperti dal greco Euclide circa duemilatrecento anni fa. Non è difficile immaginare l’esistenza di geometrie non-euclidee, con le quali si cimentano i fisici: in questo caso gli assiomi sono semplicemente diversi a livello quantitativo, per esempio la somma degli angoli interni di un triangolo non dà 180°, ma una cifra inferiore o superiore. Ma immaginate di avere un triangolo che non ha dei lati rigidi, ma flessibili, al punto che se lo manipolate potreste trasformare il vostro triangolo in una qualsiasi figura, come se aveste tra le mani un foglio di gomma. È esattamente il tipo di geometria che oggi chiamiamo “topologia”.

Nella topologia, non importa misurare lati, angoli, perimetro o area, perché le forme possono continuamente cambiare. Le forme della topologia sono analizzate tenendo conto di altri fattori: per esempio, di quanti buchi e quanti nodi sono costituite. «Per uno studioso di topologia, una ciambella e una tazzina di caffè sono identiche (mentre non lo sono una ciambella e un bicchiere); entrambe sono però diverse da una palla sferica», spiega Stewart. La

topologia non regola la nostra vita quotidiana, ma è alla base degli studi sul DNA, perché spiega come avvengono gli avvolgimenti della doppia elica che costituisce la molecola della vita, ed è fondamentale per gli studiosi dei campi quantistici. Una forma classica della topologia è il “toro”: non l’animale, ma una ciambella. In effetti, nella geometria le ciambelle che mangiate si chiamano tori, e si definiscono in base al numero g di buchi che possiedono. Con le ciambelle potete farci di tutto, manipolandole a vostro piacimento, ma a patto che non le rompiate. La forma finale potrà essere del tutto differente, ma la superficie resterà la stessa, e tanto importa agli studiosi di topologia (si veda l'animazione a sinistra).

Dietro le quinte dei computer: logica e analisi numerica

I computer ci permettono di leggere articoli come questi, di commentarli, condividerli sui social network e così via. Ma per i matematici, i computer hanno soprattutto un vantaggio: fanno i calcoli al posto loro. Per questo motivo Pascal nel XVII secolo costruì la prima, rozza calcolatrice, che aiutasse il padre nella contabilità. E all’inizio dell’Ottocento Charles Babbage ebbe l’intuizione che lo portò a creare il primo calcolatore osservando sconsolato le tavole dei logaritmi; un collega lo vide perso nei propri pensieri e gli chiese cosa stesse sognando. «Sto pensando che tutte queste tavole potrebbero essere calcolate da macchine». Oggi, i computer hanno liberato i matematici dalla schiavitù dei calcoli, lasciandoli liberi di sbizzarrirsi con approfondimenti più astratti. Ma alla fine i matematici hanno deciso di concentrare i loro studi anche sul modo di perfezionare i calcoli dei computer.

Per esempio la logica booleana, cosiddetta perché introdotta da George Boole, è stata applicata con profitto ai motori di ricerca come Google, che cercano le parole utilizzando una serie di criteri logici, fondati sulla differenza logica di base tra 0 e 1: 0 è falso, 1 è vero. I processi informatici sono fondati sugli algoritmi, una serie di passaggi logici per risolvere un problema. Gli algoritmi servono per criptare informazioni, per migliorare i risultati dei motori di ricerca, per velocizzare i processi di elaborazione dei computer. Lo sviluppo degli studi sugli algoritmi ha portato oggi all’analisi numerica, una branca della matematica dai risvolti molto pratici. Dobbiamo alla trasformata veloce di Fourier, un algoritmo di analisi numerica, la possibilità di manipolare file multimediali come i formati Jpeg, Mp3, Mpeg, che si basano sulla compressione dei dati tramite algoritmi. E l’analisi numerica permette oggi di volare tranquilli sugli aeroplani senza necessariamente sottoporre il velivolo alle prove del tunnel del vento: i computer simulano perfettamente la dinamica dei flussi di aria intorno alle ali e alla fusoliera dei velivoli, grazie al fatto che le equazioni necessarie sono ora risolte da un computer, che supera i limiti della capacità umana di calcolo.

La geometria a n-dimensioni

Da quando esiste la teoria della relatività, familiarizziamo abbastanza velocemente con il concetto di “quarta dimensione”: sappiamo cioè che esistono tre dimensioni nello spazio – altezza, lunghezza, larghezza – e una dimensione nel tempo, determinata da una linea che va dal passato al futuro. Se vi dicessero che esiste una quarta dimensione spaziale, fareste senz’altro fatica a crederci. Nella nostra vita quotidiana non risultano oggetti in quattro dimensioni. Però, alla fine del XIX secolo, i fisici si trovarono nella condizione di dover ammettere l’esistenza di spazi a molte dimensioni. I campi elettromagnetici sono definiti, oltre che dalle dimensioni classiche, anche da un vettore, che allo stesso tempo dà due informazioni: la lunghezza della freccia che costituisce il vettore indica la “forza” del campo, e la sua direzione indica “l’orientamento” del campo. Ecco allora che per definire un campo elettromagnetico è necessario introdurre nuovi parametri, e una nuova matematica. Inizialmente si recuperò un metodo piuttosto cervellotico per calcoli a quattro dimensioni, i cosiddetti quaternioni, ma la cosa era piuttosto contorta.

Successivamente, Riemann – tra i padri della topologia – trovò un metodo più semplice: per modo di dire, perché la sua elaborazione gli costò, racconta Ian Stewart, un esaurimento nervoso. Oggi la chiamiamo “geometria differenziale”, e si basa sull’assunto che lo spazio può essere curvo, come vuole la teoria di Einstein. Proprio grazie alla geometria differenziale, oggi i fisici rappresentano matematicamente lo spazio-tempo einsteiniano con una rappresentazione chiamata “spazio-tempo di Minkwski”, dal nome del fisico che la introdusse; ciò ha permesso un balzo da gigante negli studi di fisica relativistica. Questo non vuol dire che esistano davvero oggetti a più dimensioni, anche se teoricamente possiamo immaginarli. Uno di questi è l’ipercubo, che si può osservare nell’immagine a lato. Se l’idea vi confonde, non preoccupatevi: capita a tutti. Per questo i matematici preferiscono non immaginare le n-dimensioni, ma calcolarle. Così fanno anche i sostenitori della teoria delle stringhe, secondo la quale la materia è composta da invisibili stringhe arrotolate su un totale di 10 dimensioni. Alla base di questa teoria ci sono complessi calcoli di geometria n-dimensionale e topologia.

Fare ordine nel caos

La matematica che studiamo a scuola ci ha abituati a pensare che tutti i fenomeni naturali siano riconducibili a formule precise e modelli deterministici, che li rendono assolutamente prevedibili. Non è così. Quasi tutti noi abbiamo sentito qualche volta la famosa asserzione secondo cui il battito di una farfalla a Pechino può scatenare una tempesta su New York. Il clima della Terra segue in effetti un andamento caotico prevedibile fino a un certo punto, superato il quale la matematica che conosciamo cede il passo alla teoria del caos. L’effetto farfalla non vuol dire che una singola farfalla scatena un uragano, ma che miliardi e miliardi di fattori apparentemente scollegati, una volta accumulati, producono effetti imprevedibili.

La teoria del caos ha permesso di introdurre anche una nuova geometria, quella dei frattali. Si tratta di realtà che non possono essere definite dalla geometria classica, e che sono caratterizzate dalla ricorsività di uno schema. Per esempio, il fiocco di neve ha una struttura che è identica a quella posseduta su più piccola scala dalle diverse parti che compongono il fiocco di neve. Cosa c’entrano i frattali con la teoria del caos? I frattali sono forme complesse prive di qualsiasi criterio geometrico, e tuttavia esistenti. Analogamente, i fenomeni studiati dalla teoria del caos sono reali, ma la matematica tradizionale non riesce a prevederli. Questi fenomeni sono analizzabili utilizzando la cosiddetta “dinamica non lineare”, che può avere interessanti applicazioni pratiche, per esempio per prevenire disturbi epilettici o crisi cardiache, fenomeni che avvengono in maniera apparentemente casuale. I sistemi biologici – come gli esseri viventi – sono dominati dalle leggi del caos, ma alla lunga l’imprevedibilità della natura si applica a tutte le scale. Per esempio, la teoria del caos ha dimostrato che i moti del sistema solare non sono prevedibili una volta superato un lasso di tempo di diecimila anni nel futuro. Nell’arco di diecimila anni, infatti, potrebbero intervenire tante microscopiche interferenze da modificare l’ordine complessivo del sistema, in maniera, appunto, imprevedibile.

Questo significa che la matematica ha fallito il suo compito? No, anzi. Per i matematici, la teoria del caos non è che uno dei tanti esaltanti campi di studio nei quali avventurarsi. La storia della matematica, spiega Ian Stewart, è ben lontana dall'essere conclusa.