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Un collegamento tra i numeri primi: dimostrata la congettura ABC

Un matematico giapponese sarebbe riuscito a dimostrare una delle più complesse congetture della matematica, collegata all’ultimo teorema di Fermat.

Un collegamento tra i numeri primi: dimostrata la congettura ABC.

Dopo che, nel 1994, il matematico Andrew Wiles riuscì a dimostrare il famosissimo ultimo teorema di Fermat, sembrò che non ci fosse più nulla capace di scuotere l’imperturbabile torre d’avorio della matematica pura. Negli ultimi giorni invece il mondo scientifico è in subbuglio. Schinichi Mochizuki dell’Università di Kyoto ha completato, attraverso la stesura di quattro articoli che insieme compongono un tomo di quasi 500 pagine, la dimostrazione della cosiddetta “congettura ABC”, una delle più importanti congetture ancora non dimostrate della teoria dei numeri, ancora più importante dell’ultimo teorema di Fermat, perché quest’ultimo si dimostrerebbe essere nient’altro che una variante della stessa congettura.

Le congetture di Diofanto

In comune, i due problemi hanno l’origine: nel III secolo il matematico Diofanto di Alessandria nella sua opera Arithmetica fu il primo a proporre una visione astratta della matematica, che noi chiamiamo “algebra”, e che utilizza concetti generali, sotto forma di lettere piuttosto che di numeri. Ci vollero oltre mille anni prima che l’Arithemetica venne riscoperta, e quando Pierre de Fermat nel XVII secolo rilesse la sua opera cercò di dimostrare la maggior parte delle congetture di Diofanto. Una di esse, secondo la quale non esistono soluzioni espresse in termini di numeri interi positivi per l’equazione an+bn=cquando l’esponente n è maggiore di 2, divenne nota come “ultimo teorema di Fermat”, perché il matematico francese sostenne di essere riuscito a dimostrarla ma che il margine della pagina dell’Arithmetica su cui stava annotando le sue dimostrazioni non permetteva di contenere il suo ragionamento. Non è ancora chiaro se veramente Fermat ci fosse arrivato o stesse semplicemente barando. Fatto sta che si dovettero aspettare tre secoli prima che Wiles dimostrasse l’assunto, e solo servendosi di concetti complessissimi che Fermat non poteva certo conoscere.

Il matematico giapponese Shinichi Mochizuki.

La congettura ABC non è molto diversa. Afferma – nella versione elaborata da David Masser e Joseph Oesterle nel 1985 – che data un’equazione a+b=c, il prodotto d dei fattori primi di a, b e c raramente è un numero più piccolo di c. Innanzitutto, cosa significa “raramente”? Significa che esiste solo un numero finito di casi in cui questa congettura si rivela falsa, ossia in cui il valore di d è più piccolo di c. Resta però un problema: cosa s’intende per “fattori primi” di a, b e c? Prendiamo il numero 6. Esso è il prodotto di due numeri primi, 2 e 3. I numeri primi, come molti sapranno, sono quei numeri che possono essere divisi solo per se stessi o per l’unità: 3 può essere diviso – dando come risultato un altro numero intero, cioè senza decimali – solo per 3 o per 1. I numeri primi sono un elemento estremamente interessante della matematica, perché sembra non possiedano collegamenti tra di loro, cioè proprietà che permettano di calcolare in anticipo quale sia il prossimo numero primo. Appaiono in modo apparentemente casuale nell’infinita serie di numeri interi. Però la dimostrazione della congettura ABC suggerirebbe l’esistenza di una profonda connessione tra di essi.

I misteri dei numeri primi

Non abbiamo finito il nostro esempio, quello del numero 6, prodotto dei numeri primi 2 e 3. Queste due cifre sono i “fattori primi” di 6. Quindi, i fattori primi non solo altro che i numeri primi che permettono di dividere un numero intero senza resto. Possiamo allora introdurre un altro elemento: il quadrato perfetto. Esso è un numero intero che è il quadrato di un altro numero intero: 9 per esempio è il prodotto di 3 x 3, ossia 3 al quadrato. Il successivo quadrato perfetto è 16, ossia 4 x 4, dunque 4 al quadrato. E così via. Quello che ci interessa per capire la congettura ABC è il concetto di “intero privo di quadrati”. Si tratta di un numero intero che non è divisibile per nessun quadrato perfetto. Quindi 18 non è un intero privo di quadrati, in quanto può essere diviso per 9, che abbiamo visto essere un quadrato perfetto. Invece 21 è un intero privo di quadrati, perché è divisibile solo per 3 e per 7, che non sono quadrati perfetti.

In questo momento Mochizuki è la sola persona al mondo che ci capisce qualcosa.

Dorian Goldfeld

Ora, ogni numero ha una sua parte priva di quadrati. Essa è espressa come sqp(n), dove n è un numero intero positivo qualsiasi, e sqp è l’intero privo di quadrati più grande che possiamo ottenere moltiplicando i fattori di n che sono numeri primi. Prendiamo il caso del numero 18. I suoi fattori primi sono 2 e 3. Moltiplicandoli tra loro abbiamo 6, che è un intero privo di quadrati. Quindi sqp(18)=6. Cosa c’entra tutta questa storia con la congettura ABC? La congettura afferma, messa in un’altra materia, che data l’equazione a+b=c, allora sqp(abc)r/c è un numero sempre maggiore di zero se r è un numero maggiore di 1. Allora, per fare un esempio, se a è 32 e b è 18, cosicché c (a+b) è uguale a 50, allora sqp(50) sarà 10, ossia il prodotto dei fattori primi 2 e 5. Per r maggiore di 1, per esempio r=2, avremo sqp(50)2=100 che diviso per c (50) è uguale a 2, che è appunto un numero maggiore di zero.

Sembra un giochino assai poco divertente, ma ha profonde implicazioni. Innanzitutto perché collega l’operazione nota come addizione (a+b=c) alla moltiplicazione, nel momento in cui entrano in gioco i fattori primi. “E imparare qualcosa su questo argomento (la moltiplicazione e l’addizione, nda) ai giorni nostri è abbastanza sorprendente”, secondo Jordan Ellenberg, matematico dell’Università del Wisconsin a Madison. Mochizuki ha dimostrato la congettura in quasi 500 pagine assolutamente incomprensibili, al punto che, come ha affermato Dorian Goldfeld della Columbia University di New York: “In questo momento lui è la sola persona al mondo che ci capisce qualcosa”. I concetti matematici impiegati sono infatti del tutto nuovi, ma Mochizuki è ben noto agli esperti per la sua profonda conoscenza della teoria dei numeri e per l’aver già dimostrato con successo altri problemi diofantei. E proprio qui sta il bello. La dimostrazione della congettura ABC permetterebbe in un sol colpo di risolvere quasi tutti gli altri problemi di Diofanto, tra cui alcuni ancora non dimostrati, e di dimostrare anche per vie traverse l’ultimo teorema di Fermat, che è solo una variante della congettura ABC. Infine, dimostrerebbe che, dopo tutto, nel tessuto misterioso dei numeri primi, esistono delle connessioni profonde. Un’idea, questa, che rivoluzionerebbe la matematica del XXI secolo.

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